Линейная алгебра для лиц среднего ума       на главную страницу

Вопросы и задания к "Линейной алгебре"

Чтобы увидеть ответ, кликните по вопросу. Если вы не уверены, что знаете правильный ответ, хорошенько подумайте над вопросом, прежде чем кликать. Если этот текст вам мешает, можете его скрыть кнопкой в правом верхнем углу


вопросы к главе 2

Главная диагональ квадратной матрицы проходит........

слева направо, сверху вниз

матрицы можно умножать лишь тогда, когда..........

Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй

А почему?

Математические начальники условились, что при вычислении произведения матриц элементы строки первой матрицы умножаются на элементы столбцов второй (рис 7 разжёвки). Только при соблюдении условия (ответ на вопрос №2) каждому элементу первой матрицы соответствует элемент второй, "лишних" и "недостающих" нет

Транспонирование матрицы - это поворот её на 90 градусов. Да или нет?

нет

При транспонировании квадратной матрицы диагональные элементы .............

остаются на месте

а недиагональные ...........

симметрично "отражаются" относительно главной диагонали

Имеют ли смысл предыдущие два вопроса по отношению к неквадратным матрицам?

Нет, не имеют. У неквадратных матриц нет диагональных элементов

В тексте разжёвки я спрашивал, почему у антисимметричной матрицы (рис 9 разжёвки) все диагональные элементы равны нулю? В самом деле, почему?

Что такое антисимметричная матрица? Если такую матрицу транспонировать, то каждый элемент транспонированной матрицы будет равен элементу первоначальной матрицы, умноженному на -1. Диагональные элементы при этом остаются на месте. При каком x x=(-x) ? Только при x=0

вопросы к главе 3

Что такое матрица первого порядка и чему равен её определитель?

Это матрица из одного элемента, её определитель равен этому элементу

Что такое члены определителя, из чего они состоят?

Это части определителя, состоят они матричных элементов, умноженных друг на друга. Определитель представляет собой сумму членов определителя.

Из скольких элементов состоит член определителя?

Число элементов члена определителя равно порядку, то бишь размеру матрицы

Что входит в член определителя?

В член определителя входят матричные элементы, по одному из каждой строки и каждого столбца.

Могут ли входить в член определителя элементы одной строки или столбца?

Нет, не могут, потому что иначе не выполнится условие (смотрите ответ на предыдущий вопрос)

А у неквадратной матрицы вычисляют определитель?

Не знаю, но формулы, которыми вычисляют определитель квадратной, предполагают строго квадратную матрицу

Как определить, входит член определителя в общую сумму со знаком (+) или со знаком (-) ?

Надо подсчитать число инверсий (или, что то же самое, число отрезков с отрицательным наклоном). Если оно чётное, член прибавляется, если нечётное - отнимается.

Что такое инверсия?

Если в паре матричных элементов номер строки первого элемента меньше , чем номер строки другого, и в тоже время номер столбца первого элемента больше, чем другого, то это инверсия. Если наоборот, номер строки первого элемента больше, чем второго, а номер столбца, соответственно, меньше -это тоже инверсия.

Если какая либо строка (или столбец) квадратной матрицы состоит из одних нулей, то её определитель равен

нулю

А почему?

Потому, что каждый член определителя будет включать элемент этой нулевой строки (или столбца) и поэтому будет равен нулю

Ещё вопросы

Когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают ...., а затем ....

сначала количество строк, затем количество столбцов

если поменять знак всех элементов матрицы, получится ...

эквивалентная ей матрица

чтобы умножить матрицу на число, нужно ...

каждый элемент матрицы умножить на данное число

чтобы транспонировать матрицу, нужно ...

ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы

складывать / вычитать можно только матрицы, .....

одинаковые по размеру

Чтобы матрицу A можно было умножить на матрицу B нужно, чтобы ......

число столбцов матрицы A равнялось числу строк матрицы B

можно ли при умножении переставлять матрицы?

нет

Как вычислить определитель матрицы "два на два"?

нужно перемножить элементы главной диагонали и вычесть из них произведение оставшихся

если у матрицы две строки одинаковые или пропорциональные, её определитель равен ....

нулю

при транспонировании матрицы её определитель ....

не изменится

при вычислении определителя строки и столбцы матрицы ......

равноправны, то есть что действительно для строк, действительно для столбцов и наоборот

общий множитель элементов некоторой строки матрицы при вычислении её определителя можно ....

вынести за знак определителя

определитель не изменится, если к элементам некоторой строки матрицы .........

прибавить соответствующие элементы любой другой её строки, умноженные на произвольное число

если матрицы отличаются только одной строкой и строку матрицы A можно выразить через строку матрицы B (или B+C), определитель матрицы A ....

можно выразить через определитель матрицы B (или B+C) по такой же формуле, с теми же коэффициентами

определитель произведения двух квадратных матриц одного и того же порядка равен .......

произведению их определителей

Как вычислить минор элемента матрицы?

Надо вычеркнуть из матрицы строку и столбец, на которой расположен этот элемент, и вычислить определитель получившейся матрицы

чем алгебраическое дополнение отличается от минора?

если сумма номеров строки и столбца, на которой расположен элемент, четная, они совпадают; если нечётная, дополнение равно минору со знаком минус

Определитель квадратной матрицы равен ...... элементов ..... строки на их .......

равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения

зачем приводят матрицу к треугольному виду?

у такой матрицы легко вычислить определитель. Он равен произведению диагональных элементов

если переставить местами строки или столбцы матрицы, её определитель ....

поменяет знак на противоположный

сумма промзведений элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения элементов другой его строки равна ....

нулю

что такое матрица B, обратная к матрице A?

при умножении матрицы A на матрицу B или матрицы B на матрицу A получается единичная матрица того же размера, что матрица A

обратная матрица существует тогда и только тогда, когда .....

исходная матрица невырожденная (её определитель не равен нулю)

что такое базисный минор матрицы?

это подматрица наибольшего размера, определитель которой не равен нулю

что такое ранг матрицы?

размер базисного минора

при нахождении базисных строк и столбцов матрицы и вычислении ее ранга строки и столбцы можно ....

переставлять произвольным образом

Строки матрицы линейно зависимы тогда и только тогда, .......

когда одна из них является линейной комбинацией остальных строк

Если часть строк матрицы линейно зависимы, то ......

все эти строки линейно зависимы

Базисные строки матрицы .....

линейно независимы

Любая небазисная строка матрицы является ....

линейной комбинацией ее базисных строк

определитель равен нулю тогда и только тогда ....

когда между строками (столбцами) матрицы существует линейная зависимость